http://poradumo.pp.ua

Online Журнал-Світ порад.
Головна сторінка
» » Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Поряд з похідними функцій їх диференціали – це одні з базових понять диференціального обчислення, основного розділу математичного аналізу. Будучи нерозривно пов'язаними між собою, обидва вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціалі

Вперше роз'яснив, що таке диференціал, один з творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального числення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося досить нечітке і розмите уявлення про деяку нескінченно малої «неподільної» частини будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був один крок до введення уявлення про нескінченно малих приращениях аргументів функцій і відповідних їм приращениях самих функцій, що виражаються через похідні останніх. І цей крок був зроблений практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?




Виходячи з необхідності вирішення нагальних практичних задач механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили загальні спобличчя знаходження швидкості зміни функцій (насамперед стосовно до механічної швидкості руху тіла по відомій траєкторії), що призвело до введення таких понять, як похідна та диференціал функції, а також знайшли алгоритм розв'язання оберненої задачі, як за відомою (змінної) швидкості знайти пройдений шлях, що призвело до появи поняття інтеграла.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?




У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилося уявлення про те, що диференціали - це пропорційні приростами аргументів Дх основні частини приростів функцій Ду, які можуть бути з успіхом застосовані для обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що приріст функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Ду = y'(x) Дх + аДх, де Дх – залишковий член прямує до нуля при Дх->0 набагато швидше, ніж сама Дх.

Згідно з основоположників матаналізу, диференціали – це як раз і є перші члени в виразах приростів будь-яких функцій. Ще не маючи чітко сформульованим поняттям межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне до похідної функції при Дх->0 - Ду/Дх-> y'(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструмент дослідження фізичних задач, Лейбніц приділяв більшу увагу самого цього інструментарію, включаючи і систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy = y'(x)dx, аргументу dx і похідної функції у вигляді їх відносини y'(x) = dy/dx.


Сучасне визначення

Що таке диференціал з точки зору сучасної математики? Він тісно пов'язаний з поняттям приросту змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y 1 а потім y = y 2 , то різниця y 2 - y 1 називається приростом величини y.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?
Приріст може бути додатнім. негативним і рівним нулю. Слово «прирощення» позначається , запис Ду (читається «дельта ігрек») означає приріст величини y. так що Ду = y 2 - y 1 .

Якщо величину Ду довільної функції y = f (x) можливо представити у вигляді Ду = A Дх + , де A немає залежності від Дх, тобто A = const при цьому х, а доданок при Дх->0 прагне до нього ж ще швидше, ніж сама Дх, тоді перший («головний») член, пропорційний Дх, і є для y = f (x) диференціалом, позначуваних dy або df(x) (читається «де ігрек», «де еф від ікс»). Тому диференціали – це «головні» лінійні щодо Дх складові приростів функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f (t) – відстань прямолінійно рухається матеріальної точки від початкового положення (t – час перебування в дорозі). Приріст s – це шлях точки за проміжок часу t, а диференціал ds = f' (t) t – це шлях, який точка пройшла б за той же час t, якщо б вона зберегла швидкість f'(t), досягнуту до моменту t. При нескінченно малому t уявний шлях ds відрізняється від істинного s на нескінченно малу величину, яка має вищий порядок щодо t. Якщо швидкість в момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f (x). Тоді х= MQ, Ду = QM' (см. малюнок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Ду на дві частини, QN і NM'. Перша пропорційна Дх і дорівнює QN = MQ•tg (кута QMN) = Дх f '(x), тобто QN є диференціал dy.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?


Друга частина NM'дає різницю Ду - dy, при Дх->0 довжина NM' зменшується ще швидше, ніж прирощення аргументу, тобто у неї порядок малості вище, ніж у Дх. У розглянутому випадку, при f '(x) /= 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM'і QN еквівалентні; іншими словами NM' зменшується швидше (порядок малості її вище), ніж повний приріст Ду = QM'. Це видно на малюнку (з наближенням El до М відрізок NM'складає все менший відсоток відрізка QM').

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величині приросту ординати її дотичній.

Похідна і диференціал

Коефіцієнт A в першому слагаемом вираження прирощення функції дорівнює величині її похідної f '(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f '(x)Дх, або df (x) = f '(x)Дх.

Відомо, що приріст незалежного аргументу одно його диференціалу Дх = dx. Відповідно, можна написати: f '(x) dx = dy.

Знаходження (іноді говорять, «рішення») диференціалів виконується за тими ж правилами, що і для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Що більш універсально: прирощення аргументу або його диференціал

Тут необхідно зробити деякі пояснення. Подання величиною f '(x)Дх диференціала можливо при розгляді х в якості аргументу. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді подання диференціала виразом f '(x)Дх, як правило, неможливо; крім випадку лінійної залежності х = at + b.

Що ж стосується формули f '(x)dx= dy, то і у випадку незалежного аргументу х (тоді dx = Дх), і у випадку параметричної залежності х від t, вона являє диференціал.

Наприклад, вираз 2 x Дх представляє для y = x 2 її диференціал, коли х є аргумент. Покладемо тепер х= t 2 і будемо вважати t аргументом. Тоді y = x 2 = t 4 .

Далі слід (t +t) 2 = t 2 + 2tt + t 2 . Звідси Дх = 2tt + t 2 . Значить: 2хДх = 2t 2 (2tt + t 2 ).

Це вираз не пропорційно t і тому тепер 2хДх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x 2 = t 4 . Він виявляється дорівнює dy=4t 3 t.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, то воно являє диференціал y = x 2 при будь-якому аргументу t. Дійсно, при х= t 2 отримаємо dx = 2tt.

Значить 2xdx = 2t 2 2tt = 4t 3 t, тобто вираження диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна приростів диференціалами

Якщо f '(x) /= 0 то Ду і dy еквівалентні (при Дх->0); при f '(x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x 2 , то Ду = (x + Дх) 2 - x 2 = 2хДх + Дх 2 , а dy=2хДх. Якщо х=3 то маємо Ду = 6Дх + Дх 2 і dy = 6Дх, які еквівалентні внаслідок Дх 2 ->0 при х=0 величини Ду = Дх 2 і dy=0 не еквівалентні.

Цей факт, разом з простою структурою диференціала (тобто лінійності по відношенню до Дх), часто використовується в наближених обчисленнях, припущенні, що Ду dy для малих Дх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж вирахувати точне значення приросту.

Наприклад, маємо металевий куб з ребром х=1000 см. При нагріванні ребро удлинилось на Дх = 0001 см. Наскільки збільшився обсяг V куба? Маємо V = х 2 , так що dV = 3x 2 Дх = 3•10 2 •0/01 = 3 (см 3 ). Збільшення обсягу V еквівалентно диференціалу dV, так що V = 3 см 3 . Повне обчислення дало б V =1001 3 - 10 3 = 3003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої ненадійні; значить, все одно, потрібно округлити його до 3 см 3 .

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину привносимой при цьому помилки.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x 3 не знаходячи похідної. Дамо аргументу прирощення і визначимо Ду.

Ду = ( Дх + x) 3 - x 3 = 3x 2 Дх + (3хДх 2 + Дх 3 ).

Тут коефіцієнт A= 3x 2 не залежить від Дх, так що перший член пропорційний Дх, інший член 3хДх 2 + Дх 3 при Дх->0 зменшується швидше, ніж прирощення аргументу. Стало бути, член 3x 2 Дх є диференціал y = x 3:

dy=3x 2 Дх=3x 2 dx або ж d(x 3 ) = 3x 2 dx.

При цьому d(x 3 ) /dx = 3x 2 .

Знайдемо тепер dy функції y = 1/x через її похідну. Тоді d(1/x) /dx = -1/х 2 . Тому dy = - Дх/х 2 .

Диференціали основних алгебраїчних функцій наведені нижче.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Наближені обчислення із застосуванням диференціала

Обчислити функцію f (x), а також її похідну f '(x) при x=a часто неважко, а от зробити те ж саме в околі точки x=a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближений вираз

f(a + Дх) f '(a)Дх + f(a).

Воно дає наближене значення функції при малих приращениях Дх через її диференціал f '(a)Дх.

Отже, ця формула дає наближений вираз для функції в кінцевій точці деякого ділянки довжиною Дх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x=a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє малюнок нижче.

Диференціали - це що таке? Як знайти диференціал функції?

Однак відомо й точне вираження значення функції для x=a+Дх, що дається формулою скінченних приростів (або, інакше, формулою Лагранжа)

f(a+ Дх) f '() Дх + f(a),

де точка x = a+ знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Дх, хоча точне місцезнаходження її невідоме. Точна формула дозволяє оцінювати похибка наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти = Дх /2 то хоча вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідне вираз через диференціал.

Оцінка похибки формули за допомогою застосування диференціала

Вимірювальні інструменти в принципі неточні, і привносять в дані вимірювань, відповідні помилки. Їх характеризують граничною абсолютною похибкою, або, коротше, граничною похибкою – позитивним числом, свідомо перевищують цю помилку за абсолютною величиною (або в крайньому випадку рівним їй). Граничною відносною похибкою називають приватне від її поділу на абсолютне значення вимірюваної величини.

Нехай точна формула y= f (x) використана для вычисляения функції y, а значення x є результат вимірювання і тому привносить в y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку |Ду|функції y, використовують формулу

|Ду||dy|=| f '(x)||Дх|,

де |Дх|є граничною похибкою аргументу. Величину |Ду| слід округлити в бік збільшення, т. к. неточною є сама заміна обчислення прирощення на обчислення диференціала.

of your page -->

Популярні поради

загрузка...