http://poradumo.pp.ua

Online Журнал-Світ порад.
Головна сторінка
» » Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Що таке арифметика? Коли людство почало використовувати числа і працювати з ними? Куди йдуть корені таких повсякденних понять, як числа, дроби, віднімання, додавання і множення, які людина зробила невідокремленою частиною свого життя і світогляду? Давньогрецькі уми захоплювалися такими науками, як математика, арифметика та геометрія, як найчудовішими симфоніями людської логіки.




Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Можливо, арифметика не так сильно, як інші науки, але що було б з ними, забудь людина елементарну таблицю множення? Звичне нам логічне мислення, використовують цифри, знаки та інші інструменти, нелегко давалося людям і довгий час було недоступним для наших предків. Фактично до розвитку арифметики жодна область людського знання не була по-справжньому наукової.

Арифметика - це азбука математики

Арифметика – наука про числа, з якої будь-яка людина починає знайомство з захоплюючим світом математики. Як говорив Ломоносов М. В., арифметика – це ворота вченості, відкривають нам шлях до миропознанию. А адже він правий, хіба пізнання світу можна відокремити від знання цифр і букв, математики і мови? Можливо, в минулі часи, але не в сучасному світі, де бурхливий розвиток науки і техніки диктує свої закони.

Слово "арифметика" (грец. "арифмос") грецького походження, означає "число". Вона вивчає число і все що може бути з ними пов'язано. Це світ чисел: різні дії над числами, числовими правила, рішення завдань, які пов'язані з множенням, відніманням і т. д.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Загальноприйнято вважати, що арифметика є початковою сходинкою математики і твердою основою для більш складних її розділів, таких, як алгебра, матанализ, вища математика і т. д.

Основний об'єкт арифметики

Основа арифметики – це ціле число, властивості і закономірності якого розглядаються у вищій арифметиці або теорії чисел. По суті, від того, наскільки вірний підхід взято у розгляді такого невеликого блоку, як натуральне число, залежить міцність усієї будівлі – математики.




Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Тому на питання про те, що таке арифметика, можна відповісти просто: це наука про числа. Так, про звичної сімці, дев'ятці і всьому цьому різноманітному співтоваристві. І подібно до того, як і хороших, і посередніх віршів не напишеш без елементарної абетки, без арифметики не вирішити навіть елементарної задачі. Ось чому всі науки просунулися тільки після розвитку арифметики і математики, будучи до цього всього лише набором припущень.

Арифметика - наука-фантом

Що таке арифметика - натуральна наука чи фантом? Насправді, як міркували давньогрецькі філософи, ні чисел, ні фігур в реальності не існує. Це лише фантом, який створюється в людському мисленні при розгляданні навколишнього середовища з її процесами. Справді, що таке число? Ніде навколо ми не бачимо нічого такого, що можна було б назвати числом, швидше, число - це спосіб людського розуму пізнавати світ. А може бути, це вивчення нас самих зсередини? Про це сперечаються філософи багато століть поспіль, тому дати вичерпну відповідь ми не беремося. Так чи інакше, арифметиці вдалося настільки міцно зайняти свої позиції, що в сучасному світі ніхто не може вважатися соціально адаптованим без знання її основ.


Як з'явилося натуральне число

Звичайно, основний об'єкт, яким оперує арифметика, – натуральне число, таке, як 123 4 , 152 і т. д. Арифметика натуральних чисел є результатом рахунку звичайних предметів, наприклад, корів на лузі. Все-таки визначення "багато" або "мало" коли-то перестало влаштовувати людей, і довелося винаходити більш досконалі техніки рахунки.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Але справжній прорив стався, коли людська думка дійшла до того, що можна одним і тим же числом «два» позначити і 2 кілограми, і 2 цегли, і 2 деталі. Справа в тому, що потрібно абстрагуватися від форм, властивостей і сенсу предметів, тоді можна робити деякі дії з цими предметами у вигляді натуральних чисел. Так народилася арифметика чисел, що далі розвивалася і поширювалася, займаючи всі великі позиції в житті суспільства.

Такі поглиблені поняття числа, як нуль і негативне число, дробу, позначення чисел цифрами та іншими способами, мають багату і цікаву історію розвитку.

Арифметика і практичні єгиптяни

Два найдавніших супутника людини в дослідженні навколишнього світу і вирішення побутових завдань – це арифметика і геометрія.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Вважається, що історія арифметики бере свій початок на Стародавньому Сході: в Індії, Єгипті, Вавілоні та Китаї. Так, папірус Рінда єгипетського походження (названий так, оскільки належав однойменним власнику), що датується XX ст. до н. е., крім інших цінних даних містить розкладання однієї дробу на суму дробів з різними знаменниками і чисельником, рівним одиниці.

Наприклад: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.

Але в чому сенс такого складного розкладання? Справа в тому, що єгипетський підхід не терпів абстрагированных роздумів про числах, навпаки, обчислення проводилися тільки з практичною метою. Тобто єгиптянин стане займатися такою справою, як розрахунки, виключно для того, щоб побудувати гробницю, наприклад. Потрібно було вирахувати довжину ребра споруди, і це змушувало сідати людини за папірус. Як видно, єгипетський прогрес у розрахунках був викликаний, швидше масовим, будівництвом, ніж любов'ю до науки.


З цієї причини розрахунки, знайдені на папірусах, не можна назвати роздумами на тему дробів. Швидше за все, це практична заготовка, яка допомагала в подальшому вирішувати завдання з дробами. Стародавні єгиптяни, не знають таблиці множення, виробляли досить довгі обчислення, розкладені на безліч підзадач. Можливо, це одна з таких підзавдань. Неважко помітити, що розрахунки з такими заготовками досить трудомісткі і малоперспективні. Може бути, з цієї причини ми не бачимо великого вкладу Стародавнього Єгипту у розвитку математики.

Стародавня Греція і філософська арифметика

Багато знання Стародавнього Сходу були успішно освоєні стародавніми греками, відомими любителями абстрактних, абстрактних філософських роздумів. Практика їх цікавила не менше, але найкращих теоретиків і мислителів знайти складно. Це пішло на користь науці, оскільки в арифметику неможливо заглибитися, не розірвавши її з реальністю. Звичайно, можна множити на 10 корів і 100 літрів молока, але далеко просунутися не вдасться.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Мислячі глибоко греки залишили значний слід в історії, і їх праці дійшли до нас:

  • Евкліда і «Початку».
  • Піфагор.
  • Архімед.
  • Ератосфен.
  • Зенон.
  • Анаксагор.

І, звичайно, перетворюючи все в філософію греки, а особливо продовжувачі справи Піфагора, настільки були захоплені числами, що вважали їх таїнством гармонії світу. Числа настільки були вивчені та досліджені, що деяким з них і їх парам приписували особливі властивості. Наприклад:

  • Досконалі числа - ті, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників, крім самого числа(6=1+2+3).
  • Дружні числа - це числа, одне з яких дорівнює сумі всіх дільників другого, і навпаки (піфагорійці знали лише одну таку пару: 220 і 284).

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Греки, які вважали, що науку потрібно любити, а не бути з нею заради вигоди, досягли великих успіхів, досліджуючи, граючи й складаючи числа. Потрібно відзначити, що не всі їхні дослідження знайшли широке застосування, деякі з них залишилися лише "для краси".

Східні мислителі Середньовіччя

Точно так само і в Середні століття арифметика своїм розвитком зобов'язана східним сучасникам. Індійці передали нам цифри, які ми активно використовуємо, таке поняття як "нуль", і позиційний варіант системи числення, звичний сучасного сприйняття. Від Аль-каші, який в 15 столітті працював в Самарканді, ми успадкували десяткові дроби, без яких важко уявити сучасну арифметику.

У чому знайомство Європи з досягненнями Сходу стало можливо завдяки праці італійського вченого Леонардо Фібоначчі, який написав твір "Книга абака", що знайомить з східними нововведеннями. Воно стало наріжним каменем розвитку алгебри і арифметики, дослідницької та наукової діяльності в Європі.

Російська арифметика

І, нарешті, арифметика, знайшла своє місце і укорінена в Європі, стала поширюватися і на російські землі. Перша російська арифметика вийшла у 1703 році – це була книга про арифметику Леонтія Магницького. Довгий час вона залишалася єдиним навчальним посібником з математики. Вона містить початкові моменти алгебри і геометрії. Цифри, які використовував у прикладах перший у Росії підручник арифметики, арабські. Хоча арабські цифри зустрічалися і раніше, на гравюрах, які датуються 17 століттям.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Сама книга прикрашена зображеннями Архімеда і Піфагора, а на першому аркуші - образ арифметики у вигляді жінки. Вона сидить на престолі, під нею написано на івриті слово, що позначає ім'я Бога, а на сходах, які ведуть до престолу, написані слова «розподіл», «множення», «додавання» і т. д. Можна тільки уявити, яке значення надавали таким істин, які зараз вважаються буденним явищем.

Підручник з 600 сторінок описує як основи зразок таблиці додавання і множення, так і додатка до навігаційних наук.

Не дивно, що автор вибрав зображення грецьких мислителів для своєї книги, адже він і сам був полонений красою арифметики, кажучи: «Арифметика є числительница, є мистецтво чесне, независтное ». Такий підхід до арифметики цілком обґрунтований, адже саме її повсюдне впровадження можна вважати початком бурхливого розвитку наукової думки в Росії та загальної освіти.

Непрості прості числа

Просте число – це таке натуральне число, яке має тільки 2 позитивних дільники: 1 і саме себе. Всі інші числа, не рахуючи 1 називають складовими. Приклади простих чисел: 235 711 і всі інші, які не мають інших дільників, крім числа 1 і себе самого.

Що ж стосується числа 1 то воно на особливому рахунку – існує домовленість, що його треба вважати ні простим, ні складеним. Просте на перший погляд просте число таїть безліч нерозгаданих таємниць всередині себе.

Теорема Евкліда каже, що простих чисел нескінченна безліч, а Ератосфен придумав спеціальний арифметичне «решето», яке відсіює непрості числа, залишаючи тільки прості.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Її суть в тому щоб підкреслювати перше невычеркнутое число, а в подальшому викреслювати ті, які йому кратні. Багаторазово повторюємо цю процедуру - і отримуємо таблицю простих чисел.

Основна теорема арифметики

Серед спостережень про простих числах потрібно в особливий спосіб згадати основна теорема арифметики.

Основна теорема арифметики свідчить, що будь-яке ціле число, більше 1 або є простим, або його можна розкласти на добуток простих чисел з точністю до порядку слідування співмножників, причому єдиним чином.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Основна теорема арифметики доводиться досить громіздко, так і розуміння її вже не схоже на найпростіші основи.

На перший погляд прості числа - елементарне поняття, проте це не так. Фізика також колись вважала атом елементарним, поки не знайшла всередині нього цілий всесвіт. Простим числам присвячений чудовий розповідь математика Дона Цагира «Перші п'ятдесят мільйонів простих чисел».

Від «трьох яблучок» до дедуктивних законів

Що справді можна назвати армованим фундаментом усієї науки – це закони арифметики. Ще в дитинстві все стикаються з арифметикою, вивчаючи кількість ніжок і ручок у ляльок, кількість кубиків, яблучок і т. д. Так ми вивчаємо арифметику, яка далі переходить у більш складні правила.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Вся наша життя знайомить нас з правилами арифметики, які стали для простої людини найбільш корисними з усього, що дає наука. Вивчення чисел - це "арифметика-малятко", яка знайомить людину з світом чисел у вигляді цифр ще в ранньому дитинстві.

Вища арифметика - дедуктивна наука, яка вивчає закони арифметики. Більшість з них нам відомо, хоча, можливо, ми і не знаємо їх точних формулювань.

Закон додавання і множення

Два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені у вигляді суми a+b, яка також буде натуральним числом. Щодо складання діють такі закони:

  • Комутативний , який говорить, що від перестановки доданків місцями сума не змінюється, або a+b= b+a.
  • Асоціативний , який говорить, що сума не залежить від способу групування складових місцями, або a+(b+c)= (a+ b)+ c.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Правила арифметики, такі, як додавання, - одні з елементарних, але їх використовують усі науки, не кажучи вже про повсякденне життя.

Два будь-яких натуральних числа a і b можуть бути виражені у творі a*b або a*b, який також є натуральним числом. До твору застосовні ті ж коммутативные і асоціативні закони, що і до складання:

  • a*b= b* a;
  • a*(b*c)= (a* b)* c.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Цікаво, що існує закон, який об'єднує додавання і множення, званий також розподільним, або дистрибутивным законом:

a(b+c)= ab+ac

Цей закон фактично вчить нас працювати з дужками, розкриваючи їх, тим самим ми можемо працювати вже з більш складними формулами. Це саме ті закони, які будуть вести нас вигадливого і непростого світу алгебри.

Закон арифметичного порядку

Закон порядку людська логіка використовує кожен день, звіряючи годинник і вважаючи купюри. І, тим не менше, і його потрібно оформити у вигляді конкретних формулювань.

Якщо ми маємо два натуральних числа a і b, то можливі наступні варіанти:

  • a дорівнює b, або a=b;
  • a менше b, або a < b;
  • a більше b, або a > b.

З трьох варіантів справедливим може бути лише один. Основний закон, який керує порядком, каже: якщо a < b и b < c, то a< c.

Існують також закони, що зв'язують порядок з діями множення і додавання: якщо a < b, то a + c < b+c и ac< bc.

Закони арифметики вчать нас працювати з числами, знаками і дужками, перетворюючи все у струнку симфонію чисел.

Позиційні і непозиционные системи числення

Можна сказати, що числа – це математичний мову, зручності від якого багато що залежить. Існує безліч систем числення, які, як і алфавіти різних мов, відрізняються між собою.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Розглянемо системи числення з точки зору впливу позиції на кількісне значення цифри на цій позиції. Так, наприклад, римська система є непозиционной, де кожне число кодується певним набором спеціальних символів: I/V/X/L/C/D/M. Вони дорівнюють, відповідно, числами 1/5/10/50/100/500/1000. У такій системі цифра не змінює свого кількісного визначення в залежності від того, на якій вона стоїть позиції: першої, другої і т. д. Щоб отримати інші числа, потрібно скласти базові. Наприклад:

  • DCC=700.
  • СКК=800.

Більш звична для нас система числення з використанням арабських цифр є позиційною. У такій системі розряд числа визначає кількість цифр, наприклад, трехразрядные числа: 333567 і т. д. Вага будь-якого розряду залежить від позиції, на якій знаходиться та чи інша цифра, наприклад цифра 8 на другій позиції має значення 80. Це характерно для десяткової системи, існують і інші позиційні системи, наприклад двійковий.

Двійкова арифметика

Нам знайома десяткова система числення, що складається з одноразрядных багаторозрядних чисел і. Цифра ліворуч у многоразрядного числа в десять разів більше по значимості тієї, яка справа. Так, ми звикли читати 217467 і т. д. Зовсім інша логіка і підхід у розділу, який має назву "двійкова арифметика". Це й не дивно, адже двійкова арифметика створена не для людської логіки, а для комп'ютерної. Якщо арифметика чисел сталася від рахунку предметів, що надалі абстрагировалось від властивостей предмета до "голої" арифметиці, то з комп'ютером таке не пройде. Щоб можна було поділитися своїми знаннями з ЕОМ, людині довелося винайти таку модель обчислення.

Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

Двійкова арифметика працює з двійковим алфавітом, який складається всього з 0 і 1. А використання цього алфавіту називається двійковою системою числення.

Відмінність двійкової арифметики від десяткової в тому, що значимість позиції ліворуч більше не в 10 а в 2 рази. Двійкові числа мають вигляд 1111001 і т. д. Як розуміти такі числа? Отже, розглянемо число 1100:

  • Перша цифра ліворуч - 1*8=8 пам'ятаючи про те, що четверта цифра, а значить, її треба помножити на 2 отримуємо позицію 8.
  • Друга цифра 1*4=4 (позиція 4).
  • Третя цифра 0*2=0 (позиція 2).
  • Четверта цифра 0*1=0 (позиція 1).
  • Отже, наше число 1100=8+4+0+0=12.
  • Тобто при переході на новий розряд ліворуч його значимість у двійковій системі множиться на 2 а в десятковій - на 10. Така система має один мінус: це дуже велике зростання розрядів, які необхідні для запису чисел. Приклади представлення десяткових чисел у вигляді двочиных можна переглянути в наступній таблиці.

    Десяткові числа в двійковому вигляді зображені нижче.

    Що таке арифметика? Основна теорема арифметики. Двійкова арифметика

    Використовуються також і вісімкова і шістнадцяткова системи числення.

    Ця загадкова арифметика

    Що таке арифметика, «двічі два» або незвідані таємниці чисел? Як бачимо, арифметика, може, і здається на перший погляд простий, але її неочевидна оманлива легкість. Її можна вивчати і дітям разом з тітонькою Совою з мультика «Арифметика-малятко», а можна поринути в глибоко наукові вишукування чи не філософського порядку. В історії вона пройшла шлях від рахунку предметів до поклоніння красі чисел. Одне тільки точно відомо: з встановленням основних постулатів арифметики вся наука може спиратися на її міцне плече.

    of your page -->

    Популярні поради

    загрузка...